89. Построить график и выяснить свойства функции: 1) y = tg(x + π/4); 2) y = tg(x/2); 3) y = ctg(x − π/3); 4) y = ctg(π/3 + π/4).

В пункте 4 аргумент котангенса постоянен: π/3 + π/4 = 7π/12. Поэтому это постоянная функция y = ctg(7π/12) = 2 − √3; её график — горизонтальная прямая. Для пунктов 1–3 ниже указаны свойства, задающие графики.

1. y = tg(x + π/4). Область определения: x ≠ π/4 + kπ. Период π; вертикальные асимптоты x = π/4 + kπ; нули x = −π/4 + kπ. Функция возрастает на каждом промежутке (−3π/4 + kπ; π/4 + kπ), принимает все действительные значения и не является ни чётной, ни нечётной. График tg x сдвинут влево на π/4.
2. y = tg(x/2). Область определения: x ≠ π + 2kπ. Период 2π; вертикальные асимптоты x = π + 2kπ; нули x = 2kπ. Функция возрастает на каждом промежутке (−π + 2kπ; π + 2kπ), принимает все действительные значения и нечётная. Это график tg x, растянутый вдоль оси x в 2 раза.
3. y = ctg(x − π/3). Область определения: x ≠ π/3 + kπ. Период π; вертикальные асимптоты x = π/3 + kπ; нули x = 5π/6 + kπ. Функция убывает на каждом промежутке (π/3 + kπ; 4π/3 + kπ), принимает все действительные значения и не является ни чётной, ни нечётной. График ctg x сдвинут вправо на π/3.
4. y = 2 − √3. Область определения — ℝ; множество значений {2 − √3}; функция постоянная, периодична с любым положительным периодом, чётная. График — прямая y = 2 − √3.

В сообщении нельзя отобразить интерактивные графические объекты Chart.js; для их построения не хватает возможности исполнить JavaScript. Свойства и преобразования графиков приведены выше.