9.15. В △ABC известно, что AB = 4√2 см, ∠A = 45°, ∠C = 30°. Найдите BC, AC и площадь △ABC.

Дано: AB = 4√2 см, ∠A = 45°, ∠C = 30°.

Найдём третий угол: ∠B = 180° − 45° − 30° = 105°.

По теореме синусов, BC / sin 45° = AB / sin 30°, поэтому BC = 4√2 · (√2/2) / (1/2) = 8 см.

Также AC / sin 105° = AB / sin 30°. Так как sin 105° = (√6 + √2)/4, получаем AC = 4√2 · (√6 + √2)/4 / (1/2) = 4√3 + 4 см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними: S = (1/2) · AB · AC · sin A = (1/2) · 4√2 · (4 + 4√3) · (√2/2) = 8 + 8√3 см².

Ответ: BC = 8 см; AC = 4 + 4√3 см; S = 8 + 8√3 см².