9.2. Укажите решение неравенства (х+4)(х-12) ≤ 0.

Решение:

Данное неравенство является квадратным, представленным в виде произведения двух множителей. Чтобы неравенство было меньше или равно нулю, множители должны иметь противоположные знаки, или один из них должен быть равен нулю.

Найдем корни уравнения \( (x+4)(x-12) = 0 \):

\( x + 4 = 0 \) → \( x = -4 \)

\( x - 12 = 0 \) → \( x = 12 \)

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -4] \), \( [-4; 12] \), \( [12; +\infty) \).

Проверим знаки произведения на каждом интервале:

• Интервал \( (-\infty; -4) \): Возьмем \( x = -5 \). \( (-5+4)(-5-12) = (-1)(-17) = 17 > 0 \).
• Интервал \( (-4; 12) \): Возьмем \( x = 0 \). \( (0+4)(0-12) = (4)(-12) = -48 \leq 0 \).
• Интервал \( (12; +\infty) \): Возьмем \( x = 13 \). \( (13+4)(13-12) = (17)(1) = 17 > 0 \).

Неравенство \( \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-4; 12] \) (включая концы, так как знак \( \leq \)).

Ответ: 4) (-4;12]