9. Докажите, что значение выражения $91^{10}+42^{10}-85^{10}$ делится на 10.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. Докажите, что значение выражения $91^{10}+42^{10}-85^{10}$ делится на 10.$ Фото задания

Accepted Answer

Чтобы число делилось на 10, достаточно показать, что его последняя цифра равна 0. Последние цифры степеней определяются последними цифрами оснований:

$91^{10}$ оканчивается на 1, поскольку любая степень числа, оканчивающегося на 1, оканчивается на 1.

Последние цифры степеней числа 42 повторяются по циклу 2, 4, 8, 6. Так как $10\equiv2\pmod4$, число $42^{10}$ оканчивается на 4.

Числа $85^k$ при любом натуральном $k$ оканчиваются на 5, значит, $85^{10}$ оканчивается на 5.

Следовательно, последняя цифра разности суммы равна $1+4-5=0$. Значит, выражение делится на 10.

9. Докажите, что значение выражения \(91^{10}+42^{10}-85^{10}\) делится на 10.