9. Используйте свойства функций и решите неравенство log_0.5 x^2 >= 2x - 6.

Решение:

Данное неравенство: \( \log_{0.5} x^2 \geq 2x - 6 \).

Область допустимых значений (ОДЗ): \( x^2 > 0 \), что означает \( x \neq 0 \).

Перепишем неравенство, используя свойства логарифмов:

\( 2 \log_{0.5} |x| \geq 2x - 6 \)

Разделим обе части на 2:

\( \log_{0.5} |x| \geq x - 3 \)

Поскольку основание логарифма \( 0.5 < 1 \), при переходе к показательной форме знак неравенства меняется на противоположный:

\( |x| \leq (0.5)^{x-3} \)

\( |x| \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{x-3} \)

\( |x| \leq 2^{-(x-3)} \)

\( |x| \leq 2^{3-x} \)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x > 0 \)

\( x \leq 2^{3-x} \)

Попробуем подобрать решения. Если \( x = 1 \), то \( 1 \leq 2^{3-1} = 2^2 = 4 \) (верно). Если \( x = 2 \), то \( 2 \leq 2^{3-2} = 2^1 = 2 \) (верно). Если \( x = 3 \), то \( 3 \leq 2^{3-3} = 2^0 = 1 \) (неверно).

Графическое решение покажет, что \( x=1 \) и \( x=2 \) являются решениями, а также интервал между ними. Более точный анализ показывает, что \( x=1 \) и \( x=2 \) являются корнями уравнения \( x = 2^{3-x} \).

Случай 2: \( x < 0 \)

\( -x \leq 2^{3-x} \)

Так как \( x < 0 \), то \( -x > 0 \). Правая часть \( 2^{3-x} \) также всегда положительна. Это неравенство выполняется для всех \( x < 0 \).

Объединяя оба случая и учитывая ОДЗ \( x \neq 0 \), получаем: \( x < 0 \) или \( 1 \leq x \leq 2 \).

Ответ: \( x < 0 \) или \( 1 \leq x \leq 2 \).