9. На стороне AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что углы ADB и BEC равны (см. рис.). Оказалось, что отрезки AE и CD тоже равны. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

По рисунку точки расположены на AC в порядке A, E, D, C. Обозначим AE = CD = x, ED = y, а расстояние от B до прямой AC — h. Пусть проекция B на AC имеет координату t, если принять A за координату 0. Тогда координаты E, D, C равны соответственно x, x + y, 2x + y.

Из равенства углов ADB и BEC следует равенство тангенсов этих острых углов. Для угла ADB тангенс равен h / (x + y − t), а для угла BEC — h / (t − x). Поэтому x + y − t = t − x, откуда t = x + y / 2: проекция B является серединой ED.

Середина ED совпадает с серединой AC, поскольку AE = CD. Следовательно, проекция B на AC — середина AC. Значит, B лежит на перпендикулярном биссектрисе AC, а потому BA = BC.

Таким образом, треугольник ABC равнобедренный.