9) Найдите периметр ромба ABCD, используя данные рисунка: BO = 3,5, ∠ADO = 60°; O — точка пересечения диагоналей.

Диагонали ромба перпендикулярны и диагональ BD делит угол D пополам. Значит, треугольник AOD прямоугольный, а \(\angle ADO=60^\circ\). Тогда \(\angle DAO=30^\circ\), и в этом треугольнике \(DO=2\cdot AO\).

Диагонали ромба делятся точкой O пополам, поэтому \(AO=OC\) и \(BO=OD=3{,}5\). В прямоугольном треугольнике AOD катет AO, лежащий напротив угла 60°, равен \(DO\sin60^\circ\); однако для стороны ромба удобнее использовать треугольник BOD: он прямоугольный, \(\angle BDO=60^\circ\), а \(BO=3{,}5\) лежит напротив этого угла.

Следовательно, \(BD=\frac{BO}{\sin60^\circ}=\frac{7}{\sqrt3}\). Кроме того, в треугольнике BOD сторона ромба \(BD\) — гипотенуза, а сторона ромба \(BC\) равна \(\sqrt{BO^2+OC^2}\). Поскольку \(\angle BDO=60^\circ\), получаем \(DO=BO/\tan60^\circ=\frac{3{,}5}{\sqrt3}\); но равенство диагональных половин требует \(DO=BO\), что противоречит углу 60°.

Данные на рисунке несовместимы: в ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, а при \(BO=3{,}5\) имеем \(DO=3{,}5\). Тогда треугольник BOD равнобедренный прямоугольный, поэтому угол BDO должен быть 45°, тогда как рисунок задаёт 60° через \(\angle ADO\) и биссектрису BD.

Ответ: данные рисунка противоречивы; определить периметр по ним нельзя.