9. При каких значениях \(m\) и \(n\) многочлен \(x^3+mx+n\) делится без остатка на трёхчлен \(x^2+3x+10\)?

Частное должно быть линейным. Пусть оно равно \(x+a\). Тогда

\((x^2+3x+10)(x+a)=x^3+(a+3)x^2+(3a+10)x+10a\).

Сравним коэффициенты с \(x^3+mx+n\). Коэффициент при \(x^2\) равен нулю, значит \(a+3=0\), откуда \(a=-3\). Тогда \(m=3a+10=1\), а \(n=10a=-30\).

Ответ: \(m=1,\ n=-30\).