9. Прямая y = 3x − 114 является касательной к графику функции y = x³ − 8x² − 9x + 30. Найдите абсциссу точки касания.

Производная функции равна \(y'=3x^2-16x-9\). В точке касания угловой коэффициент касательной равен производной, поэтому \(3x^2-16x-9=3\), или \(3x^2-16x-12=0\).

Корни этого уравнения: \(x=6\) и \(x=-\frac{2}{3}\). Проверим, какая точка лежит на заданной касательной: при \(x=6\) функция принимает значение \(6^3-8\cdot6^2-9\cdot6+30=-96\), а прямая даёт \(3\cdot6-114=-96\). Значения совпадают.

Ответ: 6.