9. Сколько кипятка нужно влить в сосуд, содержащий 2 кг льда, взятого при 0 °С, чтобы весь лед растаял и образовалась вода температурой 10 °С, если теплотой, затраченной на нагревание сосуда, пренебречь. Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда 3,4·10⁵ Дж/кг.

Решение:

Дано:
m_льда = 2 кг
t_{начальная} = 0 °С
t_{конечная} = 10 °С
c_воды = 4200 Дж/(кг·°С)
λ_льда = 3,4·10⁵ Дж/кг

Найти: m_{кипятка}

Решение:

Теплота, необходимая для плавления льда:

\( Q_{плавл. льда} = \lambda_{льда} \cdot m_{льда} = 3,4 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг} \cdot 2 \text{ кг} = 6,8 \cdot 10^5 \) Дж.

Теплота, необходимая для нагревания получившейся воды до 10 °С:

\( Q_{нагр. воды} = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot \Delta T \). Здесь \( m_{воды} = m_{льда} = 2 \) кг, \( \Delta T = 10 \text{ °С} - 0 \text{ °С} = 10 \) °С.

\( Q_{нагр. воды} = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ °С} = 84000 \) Дж.

Общее количество теплоты, которое должно быть передано льду:

\( Q_{общ.} = Q_{плавл. льда} + Q_{нагр. воды} = 6,8 \cdot 10^5 \text{ Дж} + 84000 \text{ Дж} = 680000 \text{ Дж} + 84000 \text{ Дж} = 764000 \) Дж.

Это тепло должно быть получено от кипятка, который отдаст свою теплоту при охлаждении от 100 °С до 10 °С (температура кипятка принята за 100 °С).

\( Q_{кипятка} = c_{воды} \cdot m_{кипятка} \cdot \Delta T_{кипятка} \).

\( \Delta T_{кипятка} = 100 \text{ °С} - 10 \text{ °С} = 90 \) °С.

\( 764000 \text{ Дж} = 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot m_{кипятка} \cdot 90 \text{ °С} \).

\( m_{кипятка} = \frac{764000}{4200 \cdot 90} = \frac{764000}{378000} \approx 2,02 \) кг.

Ответ: ~2,02 кг