9. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребре DD₁ выбрана точка E так, что DE : ED₁ = 1 : 3. Вычислите косинус угла между прямыми AE и CE. А) 2/6; Б) 1/23; В) 1/17; Г) 1/15.

Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(D₁(0,a,a)\). Из отношения \(DE:ED₁=1:3\) следует, что \(E(0,a,a/4)\).

Направляющие векторы прямых:

\(\overrightarrow{EA}=(0,-a,-a/4)\), \(\overrightarrow{EC}=(a,0,-a/4)\).

Их скалярное произведение равно \(a²/16\), а длина каждого вектора — \(a\sqrt{17}/4\). Поэтому

\(\cos\varphi=\dfrac{a²/16}{(a\sqrt{17}/4)(a\sqrt{17}/4)}=\dfrac{1}{17}\).

Ответ: В) 1/17.