9. В параллелограмме ABCD AM = 3, CD = 5; BM ⟂ AD, BK ⟂ CD. Угол между BM и BD равен 60°. Найти P₍ABCD₎.

Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому AB = CD = 5. В прямоугольном треугольнике ABM гипотенуза AB равна 5, а AM = 3. По теореме Пифагора BM = √(5² − 3²) = 4.

Треугольник BMD прямоугольный при M. Так как ∠MBD = 60°, то ∠BDM = 30°. В треугольнике 30°–60°–90° катет, лежащий напротив 60°, равен меньшему катету, умноженному на √3. Поэтому MD = BM · √3 = 4√3. Значит, AD = AM + MD = 3 + 4√3.

P₍ABCD₎ = 2 · (AB + AD) = 2 · (5 + 3 + 4√3) = 16 + 8√3.

Ответ: P₍ABCD₎ = 16 + 8√3.