9. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Другой острый угол равен 45°. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол равен \( 180° - 90° - 45° = 45° \).

Так как два угла равны 45°, то треугольник равнобедренный. Катеты, лежащие против равных углов, равны.

Пусть \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. \( c = 70 \).

По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Так как \( a = b \), то \( a^2 + a^2 = 70^2 \)

\( 2a^2 = 4900 \)

\( a^2 = \frac{4900}{2} = 2450 \)

\( a = \sqrt{2450} = \sqrt{245 \cdot 10} = \sqrt{49 \cdot 5 \cdot 10} = 7 \sqrt{50} = 7 \cdot 5 \sqrt{2} = 35\sqrt{2} \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} ab \).

Так как \( a = b \), то \( S = \frac{1}{2} a^2 \).

\( S = \frac{1}{2} \cdot 2450 = 1225 \).

Ответ: 1225