9. В треугольнике ABC известны стороны: AB = 25, AC = 40, BC = 25. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Треугольник \( ABC \) является равнобедренным, так как \( AB = BC = 25 \).

Для нахождения площади равнобедренного треугольника, когда известны все стороны, можно использовать формулу Герона. Однако, проще найти высоту, опущенную на основание \( AC \).

Пусть \( BH \) - высота, опущенная на \( AC \). В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, также является медианой, поэтому \( AH = HC = \frac{AC}{2} \).

\( HC = \frac{40}{2} = 20 \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( BHC \). По теореме Пифагора:

\( BH^2 + HC^2 = BC^2 \)

\( BH^2 + 20^2 = 25^2 \)

\( BH^2 + 400 = 625 \)

\( BH^2 = 625 - 400 \)

\( BH^2 = 225 \)

\( BH = \sqrt{225} = 15 \).

Теперь найдём площадь треугольника \( ABC \) по формуле:

\( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 \)

\( S = 20 \cdot 15 = 300 \).

Ответ: 300