95. 20 Решите неравенство: log_1/3 (3x − 1) > log_1/3 (2x + 3)

Решение:

Для решения неравенства \( \log_{1/3}(3x - 1) > \log_{1/3}(2x + 3) \), где основание логарифма \( \frac{1}{3} < 1 \), будем учитывать, что логарифмическая функция убывающая. Это значит, что при раскрытии логарифмов знак неравенства меняется на противоположный.

1. ОДЗ:
• Аргумент первого логарифма: \( 3x - 1 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( 3x > 1 \) \(\Rightarrow\) \( x > \frac{1}{3} \).
• Аргумент второго логарифма: \( 2x + 3 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( 2x > -3 \) \(\Rightarrow\) \( x > -\frac{3}{2} \).
• Объединяя условия, получаем \( x > \frac{1}{3} \).
2. Решение неравенства:
• Снимаем логарифмы, меняя знак неравенства: \( 3x - 1 < 2x + 3 \).
• Вычтем \( 2x \) из обеих частей: \( 3x - 2x - 1 < 3 \) \(\Rightarrow\) \( x - 1 < 3 \).
• Прибавим 1 к обеим частям: \( x < 3 + 1 \) \(\Rightarrow\) \( x < 4 \).
3. Итоговое решение:
• Объединяем результат решения неравенства \( x < 4 \) с ОДЗ \( x > \frac{1}{3} \).
• Пересечение \( x < 4 \) и \( x > \frac{1}{3} \) дает \( \frac{1}{3} < x < 4 \).

Ответ: 1/3 < x < 4.