96. 21 Решите неравенство: log_3 (4x – 5) > 1

Решение:

Для решения неравенства \( \log_3(4x - 5) > 1 \) учтем, что основание логарифма \( 3 > 1 \), поэтому функция \( y = \log_3 t \) возрастающая. При раскрытии логарифма знак неравенства сохраняется.

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \( 4x - 5 > 0 \) \(\Rightarrow\) \( 4x > 5 \) \(\Rightarrow\) \( x > \frac{5}{4} \).
2. Решение неравенства:
• Представим 1 как логарифм по основанию 3: \( 1 = \log_3 3 \).
• Неравенство принимает вид: \( \log_3(4x - 5) > \log_3 3 \).
• Так как функция возрастающая, снимаем логарифмы, сохраняя знак неравенства: \( 4x - 5 > 3 \).
• Прибавим 5 к обеим частям: \( 4x > 3 + 5 \) \(\Rightarrow\) \( 4x > 8 \).
• Разделим обе части на 4: \( x > 2 \).
3. Итоговое решение:
• Объединяем результат решения неравенства \( x > 2 \) с ОДЗ \( x > \frac{5}{4} \).
• Пересечение \( x > 2 \) и \( x > \frac{5}{4} \) дает \( x > 2 \). (Поскольку \( 2 > \frac{5}{4} \))

Ответ: x > 2.