97. На сторонах параллелограмма ABCD (рис. 38) отложены равные отрезки AM, BK, CE и DF. Докажите, что четырёхугольник MKEF — параллелограмм.

Обозначим общую длину отрезков через x. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, AB = CD и BC = AD. Поэтому доля, которую AM составляет от AB, равна доле CE от CD; аналогично доля BK от BC равна доле DF от AD.

1. Пусть u = AB, а v = BC. Тогда, поскольку AM = CE, точки M и E занимают одинаковую долю сторон AB и CD: для некоторого числа t имеем AM = t·AB и CE = t·CD.
2. Аналогично, поскольку BK = DF, точки K и F занимают одинаковую долю сторон BC и AD: для некоторого числа s имеем BK = s·BC и DF = s·AD.
3. В параллелограмме вектор CD равен −u, а вектор AD равен v. Следовательно, векторы противоположных сторон четырёхугольника равны: MK = (1−t)u + sv и FE = (1−t)u + sv.
4. Значит, MK и FE равны и параллельны. Следовательно, MKEF — параллелограмм.