5. A 33 60° AC-?

Рассмотрим задачу на нахождение стороны AC в прямоугольной трапеции ABCD, где ∠BAD = 60°, AB = 9, CH = 3√3, где CH - высота, проведенная из вершины C к основанию AD.

1. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник ABH, в котором ∠BAH = 60°.
2. Найдем AH в прямоугольном треугольнике ABH: $$AH = AB \cdot cos(60°) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$$.
3. Найдем BH в прямоугольном треугольнике ABH: $$BH = AB \cdot sin(60°) = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$.
4. Так как BH = CD (высоты в трапеции) и CH = 3√3, то сравним BH и CH: $$\frac{9\sqrt{3}}{2} > 3\sqrt{3}$$.
5. По условию CH - высота, значит CD > CH.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD, где CD - гипотенуза, CH - катет, DH = AD - AH = AD - 4.5. Известно, что BH = CD.

Не хватает данных для нахождения AC. Дополнительное условие: BC = HD.

1. Так как BH = CD, а BC = HD, то ABCD - равнобедренная трапеция. BH=CD.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Тогда DH = BC, CH = 3√3. $$CD^2 = CH^2 + HD^2$$ $$(\frac{9\sqrt{3}}{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 + BC^2$$ $$\frac{81 \cdot 3}{4} = 27 + BC^2$$ $$BC^2 = \frac{243}{4} - 27 = \frac{243 - 108}{4} = \frac{135}{4}$$ $$BC = \sqrt{\frac{135}{4}} = \frac{\sqrt{135}}{2} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$$.
3. Т.к. трапеция равнобедренная, то AD = AH + HD = 4.5 + BC. Тогда AD = 4.5 + \frac{3\sqrt{15}}{2}
4. Проведем CK || AB, рассмотрим треугольник CKD. CD = AB = 9, KD = AD - BC = AH = 4.5. CK= BH = 9√3/2. Используем теорему косинусов для треугольника CKD. $$CD^2 = CK^2 + KD^2 - 2 \cdot CK \cdot KD \cdot cos(CKD)$$ $$CKD = 180 - 60 = 120$$ $$cos(120) = -1/2$$ $$DK^2 = CD^2 + CK^2 - 2 \cdot CD \cdot CK \cdot cos(120) = 81 + (9\sqrt{3}/2)^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9\sqrt{3}/2 \cdot -1/2$$ $$AC^2= \frac{315}{4}+ \frac{81\sqrt{3}}{2} \approx 117,6$$ $$AC = \sqrt{\frac{315}{4}+ \frac{81\sqrt{3}}{2}} \approx \sqrt{117.6} \approx 10.84 $$

Альтернативное решение

1. Сделаем дополнительное построение: проведем отрезок CE параллельно AB. Четырехугольник ABCE - параллелограмм, значит CE = AB = 9 и AE = BC = $$\frac{3\sqrt{15}}{2}$$.
2. Рассмотрим треугольник CED: ED = AD - AE = AH = 4.5.
3. Используем теорему косинусов для треугольника CED: $$CD^2 = CE^2 + ED^2 - 2 \cdot CE \cdot ED \cdot cos(\angle CED)$$ $$\angle CED = \angle BAE = 180° - 60° = 120°$$ $$CD^2 = 9^2 + 4.5^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4.5 \cdot cos(120°) = 81 + 20.25 - 81 \cdot (-0.5) = 81 + 20.25 + 40.5 = 141.75$$ $$CD = \sqrt{141.75} \approx 11.91$$.

В условии дано, что AC-? (видимо CD?)

Ответ: \(\sqrt{\frac{315}{4}+ \frac{81\sqrt{3}}{2}} \)