3. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠C = 15°, BC = 4√6. Найдите длину стороны АС и радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Для нахождения стороны АС и радиуса окружности, описанной около треугольника АВС, воспользуемся теоремой синусов и суммой углов треугольника.

1. Найдем угол B: $$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 45° - 15° = 120°$$.
2. Применим теорему синусов для нахождения стороны АС: $$\frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AC}{\sin{B}}$$ $$AC = \frac{BC \cdot \sin{B}}{\sin{A}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sin{120°}}{\sin{45°}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12$$.
3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника АВС, используя теорему синусов: $$\frac{BC}{\sin{A}} = 2R$$ $$R = \frac{BC}{2 \sin{A}} = \frac{4\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{3}$$.

Ответ: AC = 12, R = 4√3