a) (4 cos 2x)dx 6. 0 5 b) √9x-1dx

a) ∫ (4 cos 2x) dx

• Шаг 1: Находим первообразную функции f(x) = 4 cos(2x):

\[ ∫ 4 cos(2x) dx = 2 sin(2x) + C \]

• Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл в пределах от 0 до π/4:

\[ ∫_{0}^{π/4} 4 cos(2x) dx = [2 sin(2x)]_{0}^{π/4} \] \[ = 2 sin(2 \cdot \frac{π}{4}) - 2 sin(2 \cdot 0) \] \[ = 2 sin(\frac{π}{2}) - 2 sin(0) \] \[ = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \] \[ = 2 - 0 \] \[ = 2 \]

b) ∫ √(9x - 1) dx

• Шаг 1: Преобразуем интеграл:

\[ ∫_{0}^{5} \sqrt{9x - 1} dx \] Сделаем замену переменных: \(u = 9x - 1\), тогда \(du = 9 dx\) и \(dx = \frac{1}{9} du\). Когда \(x = 0\), \(u = 9 \cdot 0 - 1 = -1\). Когда \(x = 5\), \(u = 9 \cdot 5 - 1 = 44\). Новый интеграл: \[ \frac{1}{9} ∫_{-1}^{44} \sqrt{u} du \] \[ = \frac{1}{9} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{-1}^{44} \] \[ = \frac{2}{27} \left[ u^{3/2} \right]_{-1}^{44} \] \[ = \frac{2}{27} \left( 44^{3/2} - (-1)^{3/2} \right) \] \[ = \frac{2}{27} \left( 44 \sqrt{44} - (-1)\sqrt{-1} \right) \] Так как корень из отрицательного числа не определен, можно предположить, что нижний предел интегрирования должен быть больше или равен 1/9. Если нижний предел 1/9, то u = 0, а верхний предел остается 44. Тогда: \[ \frac{1}{9} ∫_{0}^{44} \sqrt{u} du \] \[ = \frac{1}{9} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{44} \] \[ = \frac{2}{27} \left[ u^{3/2} \right]_{0}^{44} \] \[ = \frac{2}{27} \left( 44^{3/2} - 0^{3/2} \right) \] \[ = \frac{2}{27} \left( 44 \sqrt{44} \right) \] \[ = \frac{2}{27} \left( 44 \cdot 2 \sqrt{11} \right) \] \[ = \frac{176 \sqrt{11}}{27} \] Если нижний предел 1/9, то ответ: \(\frac{176 \sqrt{11}}{27}\) В условии указано, что нижний предел 0. Укажем, что в данном случае интеграл не существует. Предположим, что в задании опечатка, и нижний предел 1/9, тогда решение:

Альтернативное решение

С учетом опечатки, ∫(1/9 до 5) √(9x - 1) dx 1. Замена переменных: u = 9x - 1, du = 9dx, dx = 1/9 du. 2. Новые пределы интегрирования: x = 1/9 -> u = 0, x = 5 -> u = 44. 3. Преобразованный интеграл: ∫(0 до 44) √u * 1/9 du = 1/9 ∫(0 до 44) √u du. 4. Вычисление интеграла: 1/9 * [2/3 u^(3/2)](0 до 44) = 2/27 [u^(3/2)](0 до 44). 5. Подстановка пределов: 2/27 * (44^(3/2) - 0^(3/2)) = 2/27 * 44√44 = 2/27 * 44 * 2√11 = 176√11 / 27.