1 a) cos xdx 0 π 6 3 b) ∫(1-2x) dx 2

a) ∫ cos x dx

• Шаг 1: Вычисляем интеграл.

\[ ∫_{0}^{π/6} cos(x) dx = [sin(x)]_{0}^{π/6} \] \[ = sin(π/6) - sin(0) \] \[ = \frac{1}{2} - 0 \] \[ = \frac{1}{2} \]

b) ∫ (1 - 2x)⁴ dx

• Шаг 1: Вычисляем интеграл.

\[ ∫_{2}^{3} (1 - 2x)^4 dx \] Сделаем замену переменных: \(u = 1 - 2x\), тогда \(du = -2 dx\) и \(dx = -\frac{1}{2} du\). Когда \(x = 2\), \(u = 1 - 2 \cdot 2 = -3\). Когда \(x = 3\), \(u = 1 - 2 \cdot 3 = -5\). Новый интеграл: \[ ∫_{-3}^{-5} u^4 (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} ∫_{-3}^{-5} u^4 du \] \[ = \frac{1}{2} ∫_{-5}^{-3} u^4 du \] \[ = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{-5}^{-3} \] \[ = \frac{1}{10} \left[ u^5 \right]_{-5}^{-3} \] \[ = \frac{1}{10} \left( (-3)^5 - (-5)^5 \right) \] \[ = \frac{1}{10} \left( -243 - (-3125) \right) \] \[ = \frac{1}{10} \left( -243 + 3125 \right) \] \[ = \frac{1}{10} \left( 2882 \right) \] \[ = \frac{2882}{10} \] \[ = \frac{1441}{5} \] \[ = 288.2 \]

Альтернативное решение

∫(2 до 3) (1 - 2x)⁴ dx 1. Замена переменных: t = 1 - 2x, dt = -2dx, dx = -1/2 dt. 2. Новые пределы интегрирования: x = 2 -> t = -3, x = 3 -> t = -5. 3. Преобразованный интеграл: ∫(-3 до -5) t⁴ * (-1/2) dt = -1/2 ∫(-3 до -5) t⁴ dt = 1/2 ∫(-5 до -3) t⁴ dt. 4. Вычисление интеграла: 1/2 * [t⁵/5](-5 до -3) = 1/10 * [t⁵](-5 до -3). 5. Подстановка пределов: 1/10 * ((-3)⁵ - (-5)⁵) = 1/10 * (-243 + 3125) = 1/10 * 2882 = 1441/5 = 288.2.