2 a) (4x³ + 2x)dx 1 П 3dx b) ∫ 0 cos²( - ) 2 3

a) ∫ (4x³ + 2x) dx

• Шаг 1: Находим первообразную функции f(x) = 4x³ + 2x:

\[ ∫ (4x³ + 2x) dx = x⁴ + x² + C \]

• Шаг 2: Вычисляем определенный интеграл в пределах от 1 до 2:

\[ ∫_{1}^{2} (4x³ + 2x) dx = [x⁴ + x²]_{1}^{2} \] \[ = (2⁴ + 2²) - (1⁴ + 1²) \] \[ = (16 + 4) - (1 + 1) \] \[ = 20 - 2 \] \[ = 18 \]

b) ∫ 3dx / cos²((x/2) - (π/3))

• Шаг 1: Преобразуем интеграл:

\[ ∫_{0}^{π} \frac{3}{cos²(\frac{x}{2} - \frac{π}{3})} dx \]

• Шаг 2: Находим первообразную функции 1/cos²((x/2) - (π/3)).

Первообразная функции 1/cos²(ax + b) равна (1/a)tan(ax + b). В нашем случае a = 1/2, b = -π/3. \[ 3 ∫_{0}^{π} \frac{1}{cos²(\frac{x}{2} - \frac{π}{3})} dx = 3 \left[ 2 tan(\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \right]_{0}^{π} \] \[ = 6 \left[ tan(\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \right]_{0}^{π} \]

• Шаг 3: Вычисляем значение тангенса в пределах интегрирования.

\[ = 6 \left( tan(\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) - tan(0 - \frac{π}{3}) \right) \] \[ = 6 \left( tan(\frac{3π - 2π}{6}) - tan(-\frac{π}{3}) \right) \] \[ = 6 \left( tan(\frac{π}{6}) - tan(-\frac{π}{3}) \right) \] \[ = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} - (-\sqrt{3}) \right) \] \[ = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \right) \] \[ = 6 \left( \frac{1 + 3}{\sqrt{3}} \right) \] \[ = 6 \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right) \] \[ = \frac{24}{\sqrt{3}} \] \[ = \frac{24 \sqrt{3}}{3} \] \[ = 8 \sqrt{3} \]