a) 3 dx 0 cos² x π 4. 4 8 b) ∫(1+) dx -1 2

a) ∫ 3 / cos²(x) dx

• Шаг 1: Вычисляем интеграл.

\[ ∫_{0}^{π/4} \frac{3}{cos²(x)} dx = 3 ∫_{0}^{π/4} \frac{1}{cos²(x)} dx \] \[ = 3 [tan(x)]_{0}^{π/4} \] \[ = 3 (tan(π/4) - tan(0)) \] \[ = 3 (1 - 0) \] \[ = 3 \]

b) ∫ (1 + x/2)⁸ dx

• Шаг 1: Вычисляем интеграл.

\[ ∫_{-1}^{4} (1 + \frac{x}{2})^8 dx \] Сделаем замену переменных: \(u = 1 + \frac{x}{2}\), тогда \(du = \frac{1}{2} dx\) и \(dx = 2 du\). Когда \(x = -1\), \(u = 1 + \frac{-1}{2} = \frac{1}{2}\). Когда \(x = 4\), \(u = 1 + \frac{4}{2} = 3\). Новый интеграл: \[ ∫_{1/2}^{3} u^8 (2) du = 2 ∫_{1/2}^{3} u^8 du \] \[ = 2 \left[ \frac{u^9}{9} \right]_{1/2}^{3} \] \[ = \frac{2}{9} \left[ u^9 \right]_{1/2}^{3} \] \[ = \frac{2}{9} \left( 3^9 - (\frac{1}{2})^9 \right) \] \[ = \frac{2}{9} \left( 19683 - \frac{1}{512} \right) \] \[ = \frac{2}{9} \left( \frac{19683 \cdot 512 - 1}{512} \right) \] \[ = \frac{2}{9} \left( \frac{10077696 - 1}{512} \right) \] \[ = \frac{2}{9} \cdot \frac{10077695}{512} \] \[ = \frac{20155390}{4608} \] \[ = \frac{10077695}{2304} \approx 4373.91\] Чтобы упростить расчеты, оставим так: \[ \frac{2}{9} (3^9 - (\frac{1}{2})^9 ) = \frac{2 \cdot 3^9}{9} - \frac{2}{9 \cdot 2^9} = \frac{2 \cdot 3^7}{1} - \frac{1}{9 \cdot 2^8} = 2 \cdot 2187 - \frac{1}{9 \cdot 256} = 4374 - \frac{1}{2304} \] Или: \[ \frac{2}{9} \left(3^9 - \frac{1}{2^9}\right) \approx \frac{2 \cdot 19683}{9} \approx 4374 \] Можно немного упростить, если сделать так: \[\frac{2}{9} (3^9 - (\frac{1}{2})^9 ) = \frac{2}{9} \cdot 3^9 - \frac{2}{9} \cdot (\frac{1}{2})^9 = \frac{2 \cdot 3^9}{3^2} - \frac{2}{9 \cdot 2^9} = 2 \cdot 3^7 - \frac{1}{9 \cdot 2^8} = 2 \cdot 2187 - \frac{1}{9 \cdot 256} = 4374 - \frac{1}{2304}\] Приблизительно равно 4374.

Альтернативное решение

Если раскрыть скобки в подынтегральном выражении, то получится довольно громоздкое выражение, которое тяжело интегрировать. Поэтому, можно сделать замену: t = 1 + x/2. Тогда x = 2t - 2, dx = 2dt. Новые пределы интегрирования: x = -1 -> t = 1/2, x = 4 -> t = 3. Получим: ∫(1 + x/2)⁸dx = ∫t⁸ * 2dt = 2∫t⁸dt = 2 * t⁹/9. Теперь подставим пределы интегрирования: 2/9 * (3⁹ - (1/2)⁹) = 2/9 * (19683 - 1/512) ≈ 4374