3. а) Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 48, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы. б) Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7. в) Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины А, В, С, С1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9. г) Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A1, B1, C1. д) В правильной шестиугольной призме ABCDEFABCDEF1, все рёбра которой равны 5, найдите угол между прямыми FA и D1E1. Ответ дайте в градусах.

Задание 3

Разбираемся с геометрией призм!

а)

• Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру.
• Объём призмы равен 48.

Логика такая:

• Объём отсечённой призмы будет равен половине объёма исходной призмы.
• \( V_{отсеч} = \frac{1}{2} V_{исх} \)

Считаем:

• \( V_{отсеч} = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \)

Ответ: 24

б)

• Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру.
• Объём отсечённой призмы равен 7.

Логика решения:

• Объём исходной призмы будет в два раза больше объёма отсечённой призмы.
• \( V_{исх} = 2 \cdot V_{отсеч} \)

Считаем:

• \( V_{исх} = 2 \cdot 7 = 14 \)

Ответ: 14

в)

• Найти объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, C₁ правильной треугольной призмы ABC A₁B₁C₁.
• Площадь основания равна 6, боковое ребро равно 9.

Разбираемся:

• Объём призмы равен произведению площади основания на высоту (боковое ребро).
• Многогранник ABC C₁ представляет собой пирамиду, основанием которой является треугольник ABC, а высотой – боковое ребро CC₁.
• Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
• \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)

Считаем:

• \( V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 9 = 18 \)

Ответ: 18

г)

• Дана правильная треугольная призма ABC A₁B₁C₁.
• Площадь основания равна 8, боковое ребро равно 6.
• Найти объём многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A₁, B₁, C₁.

Смотри, как это работает:

• Этот многогранник представляет собой призму, из которой «вырезали» пирамиду B A₁B₁C₁.
• Объём призмы ABC A₁B₁C₁ равен произведению площади основания на высоту: \( V_{призмы} = S_{осн} \cdot h \)
• Объём пирамиды B A₁B₁C₁ равен \( \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)
• Объём многогранника равен разности объёмов призмы и пирамиды.
• \( V_{многогр} = V_{призмы} - V_{пир} = S_{осн} \cdot h - \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{2}{3} S_{осн} \cdot h \)

Считаем:

• \( V_{многогр} = \frac{2}{3} \cdot 8 \cdot 6 = 32 \)

Ответ: 32

д)

• В правильной шестиугольной призме ABCDEF A₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 5.
• Найти угол между прямыми FA и D₁E₁.

Разбираемся:

• В правильной шестиугольной призме ABCDEF A₁B₁C₁D₁E₁F₁ прямая D₁E₁ параллельна прямой DE.
• Угол между прямыми FA и DE равен углу между прямыми FA и AD.
• Угол FAD равен 90 градусам, так как AF – большая диагональ шестиугольника, а AD – меньшая диагональ.

Ответ: 90 градусов

Правило дня: Объем призмы – это площадь основания, умноженная на высоту. Объем пирамиды – одна треть произведения площади основания на высоту.