164. а) Через точку А, лежащую на окружности, проведены диаметр АВ и хорда АС, причём АС = 8 и ВАС = 30° Найдите хорду СМ, перпендикулярную АВ.

Ответ: СМ = 4

1. Рассмотрим треугольник ABC, где угол BAC равен 30°. Так как AB - диаметр, угол ACB равен 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
2. В прямоугольном треугольнике ABC катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, BC = 0.5 * AB.
3. Рассмотрим треугольник CMA, где CM перпендикулярна AB. Тогда угол CAM равен 90° - 30° = 60°.
4. Теперь рассмотрим треугольник AMC, где угол MAC равен 60°. Тогда угол ACM равен 30°. Следовательно, AM = 0.5 * AC = 0.5 * 8 = 4.
5. Рассмотрим треугольник CMA, где CM перпендикулярна AB. Тогда угол CAM равен 90° - 30° = 60°. Следовательно, CM = 0.5 * AC = 0.5 * 8 = 4.

Ответ: СМ = 4