A3. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, а его гипотенуза - $$5\sqrt{2}$$ см. Чему равны катеты данного треугольника?

Если один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 135°, то смежный с ним внутренний угол равен 180° - 135° = 45°. Поскольку один из углов прямоугольного треугольника равен 90°, то второй острый угол также равен 45° (180° - 90° - 45° = 45°). Таким образом, данный прямоугольный треугольник является равнобедренным (так как два его угла равны). Это означает, что его катеты равны. Пусть катеты равны \(a\). Тогда по теореме Пифагора: $$a^2 + a^2 = (5\sqrt{2})^2$$ $$2a^2 = 25 \cdot 2$$ $$2a^2 = 50$$ $$a^2 = 25$$ $$a = \sqrt{25}$$ $$a = 5$$ Следовательно, катеты равны 5 см. Ответ: 2) 5 см и 5 см