13. а) Решите уравнение 1 – cos 2x + √2sin(x + π) = √2 – 2 sin x.

Преобразуем уравнение:

$$1 - \cos 2x + \sqrt{2} \sin(x + \pi) = \sqrt{2} - 2\sin x$$

Используем формулу \(\sin(x + \pi) = -\sin x\) и \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\):

$$1 - (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{2}(-\sin x) = \sqrt{2} - 2\sin x$$

$$2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = \sqrt{2} - 2\sin x$$

$$2\sin^2 x + (2 - \sqrt{2})\sin x - \sqrt{2} = 0$$

Пусть \(t = \sin x\). Тогда уравнение принимает вид:

$$2t^2 + (2 - \sqrt{2})t - \sqrt{2} = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (2 - \sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-\sqrt{2}) = 4 - 4\sqrt{2} + 2 + 8\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^2$$

Корни уравнения:

$$t_1 = \frac{-(2 - \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2})}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$t_2 = \frac{-(2 - \sqrt{2}) - (2 + \sqrt{2})}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Таким образом, получаем два случая:

1) \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

$$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) \(\sin x = -1\)

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$