12. Найдите точку минимума функции у = 4х³ – 48x + 11.

Для нахождения точки минимума функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции.
2. Приравнять первую производную к нулю и найти критические точки.
3. Найти вторую производную функции.
4. Определить знак второй производной в каждой критической точке. Если вторая производная положительна, то это точка минимума.

1) Находим первую производную:

$$y' = (4x^3 - 48x + 11)' = 12x^2 - 48$$

2) Приравниваем первую производную к нулю:

$$12x^2 - 48 = 0$$

$$12x^2 = 48$$

$$x^2 = 4$$

$$x = \pm 2$$

Получаем две критические точки: x = 2 и x = -2.

3) Находим вторую производную:

$$y'' = (12x^2 - 48)' = 24x$$

4) Определяем знак второй производной в критических точках:

• $$y''(2) = 24 \cdot 2 = 48 > 0$$, следовательно, x = 2 - точка минимума.
• $$y''(-2) = 24 \cdot (-2) = -48 < 0$$, следовательно, x = -2 - точка максимума.

Таким образом, точка минимума функции y = 4x³ – 48x + 11 равна 2.

Ответ: 2