15. Решите неравенство \(\frac{27x^3 + 9x^2 – 3x - 1}{16^{x^2}-4 \cdot 4^{x^2}+4} > 0\).

Решим неравенство:

$$\frac{27x^3 + 9x^2 - 3x - 1}{16^{x^2} - 4 \cdot 4^{x^2} + 4} > 0$$

Сначала разложим числитель на множители. Заметим, что можно сгруппировать члены:

$$27x^3 + 9x^2 - 3x - 1 = 9x^2(3x + 1) - 1(3x + 1) = (9x^2 - 1)(3x + 1) = (3x - 1)(3x + 1)(3x + 1) = (3x - 1)(3x + 1)^2$$

Теперь рассмотрим знаменатель:

$$16^{x^2} - 4 \cdot 4^{x^2} + 4 = (4^{x^2})^2 - 4 \cdot 4^{x^2} + 4 = (4^{x^2} - 2)^2$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\frac{(3x - 1)(3x + 1)^2}{(4^{x^2} - 2)^2} > 0$$

Знаменатель всегда положителен, за исключением случая, когда \(4^{x^2} - 2 = 0\), то есть \(4^{x^2} = 2\), или \(2^{2x^2} = 2^1\), \(2x^2 = 1\), \(x^2 = \frac{1}{2}\), \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Числитель должен быть положительным, и \((3x + 1)^2\) всегда неотрицателен, поэтому нас интересует только когда \(3x - 1 > 0\), то есть \(x > \frac{1}{3}\).

Также нужно исключить точку, где \(3x + 1 = 0\), то есть \(x = -\frac{1}{3}\), так как тогда числитель равен нулю.

Таким образом, решением неравенства является \(x > \frac{1}{3}\), исключая точки, где знаменатель равен нулю: \(x
eq \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Поскольку \(\frac{1}{3} \approx 0.33\), а \(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7\), нужно проверить, что \(\frac{\sqrt{2}}{2} > \frac{1}{3}\), то есть \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) входит в решение.

Окончательный ответ:

$$x \in (\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (\frac{1}{3}; \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}; +\infty)$$