13. a) Решите уравнение \(\frac{3}{\sin^2 5x} - \frac{1}{\sin 5x} = 2\). b) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]\).

**Решение:** a) Решим уравнение: 1. Пусть (t = \frac{1}{\sin 5x}). Тогда уравнение примет вид: (3t^2 - t = 2), или (3t^2 - t - 2 = 0). 2. Решим квадратное уравнение: (D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25), (t_1 = \frac{1 + 5}{6} = 1), (t_2 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{2}{3}). 3. Вернемся к исходной переменной: * (\frac{1}{\sin 5x} = 1), (\sin 5x = 1), (5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k), (x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}), где (k \in \mathbb{Z}). * (\frac{1}{\sin 5x} = -\frac{2}{3}), (\sin 5x = -\frac{3}{2}). Это уравнение не имеет решений, так как (\left|\sin 5x\right| \le 1). b) Найдем корни, принадлежащие промежутку \([-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]\): 1. Подставим (x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}) в неравенство: (-\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5} \le -\frac{\pi}{2}). 2. Умножим все части неравенства на \(\frac{10}{\pi}\): (-15 \le 1 + 4k \le -5). 3. Вычтем 1 из всех частей: (-16 \le 4k \le -6). 4. Разделим все части на 4: (-4 \le k \le -1.5). 5. Поскольку (k \in \mathbb{Z}), возможные значения (k) равны (-4, -3, -2). 6. Найдем соответствующие значения (x): * (k = -4): (x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi (-4)}{5} = \frac{\pi}{10} - \frac{8\pi}{5} = \frac{\pi - 16\pi}{10} = -\frac{15\pi}{10} = -\frac{3\pi}{2}). * (k = -3): (x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi (-3)}{5} = \frac{\pi}{10} - \frac{6\pi}{5} = \frac{\pi - 12\pi}{10} = -\frac{11\pi}{10}). * (k = -2): (x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi (-2)}{5} = \frac{\pi}{10} - \frac{4\pi}{5} = \frac{\pi - 8\pi}{10} = -\frac{7\pi}{10}). **Ответ:** а) (x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi k}{5}), где (k \in \mathbb{Z}). б) (x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{11\pi}{10}, -\frac{7\pi}{10}).