13. а) Решите уравнение (sin x − 1) log₁₅ (tg x) = 0. √cos x

Решим уравнение:

$$\frac{(\sin x - 1) \log_{15} (\operatorname{tg} x)}{\sqrt{\cos x}} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1) \(\sin x - 1 = 0\)

$$\sin x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

2) \(\log_{15} (\operatorname{tg} x) = 0\)

$$\operatorname{tg} x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Найдем ОДЗ:

1) \(\cos x > 0\), так как \(\cos x\) находится под корнем.

2) \(\operatorname{tg} x > 0\), так как \(\operatorname{tg} x\) находится под знаком логарифма.

Проверим корни \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\):

$$\cos (\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$$, поэтому эти корни не подходят, так как не входят в ОДЗ.

Проверим корни \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k\):

Если k - четное число, то \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\). В этом случае \(\cos x > 0\) и \(\operatorname{tg} x > 0\), поэтому корни подходят.

Если k - нечетное число, то \(x = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi m = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\). В этом случае \(\cos x < 0\) и \(\operatorname{tg} x > 0\), поэтому корни не подходят.

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\)