12. Найдите точку минимума функции у = x³ – 2x² + x + 6.

Для нахождения точки минимума функции необходимо:

• Найти первую производную функции.
• Приравнять первую производную к нулю и решить уравнение.
• Определить знаки производной слева и справа от полученных корней.

1. Находим первую производную:

$$y' = 3x^2 - 4x + 1$$

2. Приравниваем производную к нулю:

$$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$$ $$x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Получили две точки: x = 1 и x = 1/3. Нужно определить знаки производной слева и справа от полученных корней.

Возьмем точку x = 0 (слева от 1/3):

$$y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 1 = 1 > 0$$

Возьмем точку x = 0.5 (между 1/3 и 1):

$$y'(0.5) = 3 \cdot 0.5^2 - 4 \cdot 0.5 + 1 = 0.75 - 2 + 1 = -0.25 < 0$$

Возьмем точку x = 2 (справа от 1):

$$y'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$$

Так как в точке x = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума.

Ответ: 1