А1. В ромбе АABCD AB = 10 см, меньшая диагональ АС = 12 см. Найдите площадь ромба.

Для нахождения площади ромба, зная сторону и одну из диагоналей, необходимо найти вторую диагональ.

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба.

Пусть BD = x. Тогда половина диагонали AC равна 12/2 = 6 см. По теореме Пифагора:

$$ (x/2)^2 + 6^2 = 10^2 $$

$$ (x/2)^2 + 36 = 100 $$

$$ (x/2)^2 = 64 $$

$$ x/2 = 8 $$

$$ x = 16 $$

Диагональ BD = 16 см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$$ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD $$

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2 $$

Ответ: 96 см²