А1 Найдите область определения функции y = \(\sqrt{4x^2 - 5x + 1}\)

Решение:

Область определения функции \( y = \sqrt{4x^2 - 5x + 1} \) находится, когда подкоренное выражение неотрицательно:

\[ 4x^2 - 5x + 1 \ge 0 \]

Решим квадратное неравенство. Найдём корни уравнения \( 4x^2 - 5x + 1 = 0 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \) и \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).

Парабола \( y = 4x^2 - 5x + 1 \) ветвями вверх. Неравенство \( 4x^2 - 5x + 1 \ge 0 \) выполняется при \( x \in (-\infty; \frac{1}{4}] \cup [1; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; \frac{1}{4}] \cup [1; +\infty) \).