А8 Упростите \( \sin^2 \alpha (1 + \text{ctg}^2 \alpha) - \cos^2 \alpha \)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).

Подставим это в выражение:

\[ \sin^2 \alpha \left( \frac{1}{\sin^2 \alpha} \right) - \cos^2 \alpha \]

Сократим \( \sin^2 \alpha \):

\[ 1 - \cos^2 \alpha \]

Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), мы знаем, что \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).

Ответ: \( \sin^2 \alpha \).