A13: \( \triangle ABC \) равнобедренный. Внешний угол при вершине В равен \( 125^{\circ} \). Найдите \(\angle C\).

Решение:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Внешний угол при вершине В равен \( 125^{\circ} \).

Смежный с ним внутренний угол \( \angle B \) равен \( 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ} \).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то углы при основании равны. Если \( \angle B = 55^{\circ} \), то \( \angle A = 55^{\circ} \) (если основание АС) или \( \angle C = 55^{\circ} \) (если основание ВС).

Если \( \angle B = 55^{\circ} \), то \( \angle A = 55^{\circ} \). Сумма углов \( \angle A + \angle B = 55^{\circ} + 55^{\circ} = 110^{\circ} \).

Тогда \( \angle C = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

Если \( \angle C = 55^{\circ} \), то \( \angle A = 55^{\circ} \).

Сумма углов \( \angle B + \angle C = 55^{\circ} + 55^{\circ} = 110^{\circ} \).

Тогда \( \angle A = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

Если \( \angle B = 55^{\circ} \), и \( \angle B \) — угол при вершине, то \( \angle A = \angle C = (180^{\circ} - 55^{\circ}) / 2 = 125^{\circ} / 2 = 62.5^{\circ} \). Это противоречит тому, что внешний угол при вершине В равен \( 125^{\circ} \).

Значит, \( \angle B \) — угол при основании. Тогда \( \angle B = 55^{\circ} \). Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то \( \angle A = \angle B = 55^{\circ} \) или \( \angle C = \angle B = 55^{\circ} \). Поскольку \( \angle B \) — угол при вершине, то \( \angle A = \angle C \). Это невозможно, так как \( \angle B = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ} \). Если \( \angle B = 55^{\circ} \), то \( \angle A = \angle C = (180 - 55) / 2 = 62.5^{\circ} \).

Рассмотрим случай, когда \( \angle B \) — угол при основании. Тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ} \). Второй угол при основании равен \( \angle A = 55^{\circ} \). Тогда \( \angle C = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 55^{\circ} = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

Ответ: 70°.