А15. а) В треугольнике ABC угол C равен 41°, угол BAD равен 24°, AD — биссектриса угла A. Найдите угол ADB. б) В треугольнике ABC проведена биссектриса AD, угол ADC равен 82°, угол ABC равен 43°. Найдите угол ACB.

а) AD — биссектриса угла A, следовательно, ∠BAC = 2 * ∠BAD = 2 * 24° = 48°. В треугольнике ABC ∠ACB = 41°, ∠BAC=48°. Следовательно, ∠ABC = 180 - 41 - 48 = 91°. Теперь в треугольнике ABD: ∠BAD = 24°, ∠ABD = 91°, значит ∠ADB = 180 - 24 - 91 = 65°. б) В треугольнике ADC: ∠ADC = 82°, ∠DAC=x, ∠ACD = 180 - 82 - x. В треугольнике ABC: ∠ABC = 43°, ∠BAC = 2x, ∠ACB = 180 - (2x) - 43. Так как ∠ACD = ∠ACB, то: 180 - 82 - x = 180 - 2x - 43; 98 - x = 137 - 2x; x = 137 - 98; x = 39. Значит, ∠BAC = 2 * 39 = 78°, тогда ∠ACB = 180 - 78 - 43 = 59°.