А18. Расстояние между центром Земли и центром Луны равно 60R3 (R3 - радиус Земли). Масса Земли в n = 81 раз больше массы Луны. Тело, находящееся на линии, соединяющей центр Земли и центр Луны, притягивается к Земле и Луне с одинаковой силой, если оно находится на расстоянии r от центра Луны, равном:

Решение:

Пусть \( m_З \) — масса Земли, \( m_Л \) — масса Луны. По условию \( m_З = 81 m_Л \).

Расстояние между центрами Земли и Луны \( L = 60 R_3 \).

Тело массой \( m \) находится на линии, соединяющей центры Земли и Луны, на расстоянии \( r \) от центра Луны. Тогда расстояние от тела до центра Земли будет \( L - r \).

Сила притяжения тела к Земле:

\( F_З = G \frac{m_З m}{(L - r)^2} \).

Сила притяжения тела к Луне:

\( F_Л = G \frac{m_Л m}{r^2} \).

По условию, силы равны: \( F_З = F_Л \).

\( G \frac{m_З m}{(L - r)^2} = G \frac{m_Л m}{r^2} \).

Сокращаем \( G \) и \( m \):

\( \frac{m_З}{(L - r)^2} = \frac{m_Л}{r^2} \).

Подставляем \( m_З = 81 m_Л \):

\( \frac{81 m_Л}{(L - r)^2} = \frac{m_Л}{r^2} \).

Сокращаем \( m_Л \):

\( \frac{81}{(L - r)^2} = \frac{1}{r^2} \).

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\( \sqrt{\frac{81}{(L - r)^2}} = \sqrt{\frac{1}{r^2}} \).

\( \frac{9}{L - r} = \frac{1}{r} \).

Перемножаем крест-накрест:

\( 9r = L - r \).

\( 9r + r = L \).

\( 10r = L \).

\( r = \frac{L}{10} \).

Теперь подставим значение \( L = 60 R_3 \):

\( r = \frac{60 R_3}{10} = 6 R_3 \).

Таким образом, тело находится на расстоянии \( 6 R_3 \) от центра Луны.

Ответ: 1) 6R3.