А2. В прямоугольном треугольнике АВС \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \), \( AC = 10 \) см, CD — высота, проведённая к стороне AB, DE — перпендикуляр, проведённый из точки D к стороне AC. Чему равна длина AE?

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \), значит \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

CD — высота. В прямоугольном треугольнике ADC \( \angle ADC = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \), значит \( \angle ACD = 60^{\circ} \).

DE — перпендикуляр к AC, значит \( \angle DEA = 90^{\circ} \). Треугольник ADE прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике ADC:

\[ \tan A = \frac{CD}{AC} \]\[ \tan 30^{\circ} = \frac{CD}{10} \]\[ CD = 10 \cdot \tan 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \]

В прямоугольном треугольнике ADE:

\[ \cos A = \frac{AE}{AD} \]

Для этого найдём AD. В прямоугольном треугольнике ADC:

\[ \cos A = \frac{AC}{AD} \]\[ \cos 30^{\circ} = \frac{10}{AD} \]\[ AD = \frac{10}{\cos 30^{\circ}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \]

Теперь найдём AE:

\[ AE = AD \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \]

Ответ: 5 см