А5. Хорда АВ равна 18 см. ОА И ОВ - радиусы окружности, причем угол АОВ = 90°. Найдите расстояние от точки О до хорды АВ.

Треугольник AOB является равнобедренным (OA = OB = R) и прямоугольным (угол AOB = 90°).

По теореме Пифагора найдем длину радиуса:

\( OA^2 + OB^2 = AB^2 \)

\( R^2 + R^2 = 18^2 \)

\( 2R^2 = 324 \)

\( R^2 = 162 \)

\( R = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2} \) см.

Расстояние от центра окружности O до хорды AB — это высота OH, проведенная к гипотенузе AB в треугольнике AOB.

Площадь треугольника AOB можно найти двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \cdot 162 = 81 \) кв. см.

2. \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH \)

Приравниваем площади:

\( \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot OH = 81 \)

\( 9 \cdot OH = 81 \)

\( OH = \frac{81}{9} = 9 \) см.

Ответ: 3) 9 см