А2. В прямоугольном треугольнике АВС \(\angle C = 90^{\circ}\), \(LA = 30^{\circ}\), \(AC = 10\) см, CD — высота, проведённая к стороне АВ, DE — перпендикуляр, проведённый из точки D к стороне АС. Чему равна длина АЕ?

Решение:

В прямоугольном \(\triangle ABC\):

\(\angle C = 90^{\circ}\), \(\angle A = 30^{\circ}\).

\(\cos A = \frac{AC}{AB}\) \(\Rightarrow\) \(\cos 30^{\circ} = \frac{10}{AB}\) \(\Rightarrow\) \(AB = \frac{10}{\cos 30^{\circ}} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\) см.

\(\tan A = \frac{BC}{AC}\) \(\Rightarrow\) \(\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{10}\) \(\Rightarrow\) \(BC = 10 \tan 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\) см.

В прямоугольном \(\triangle ADC\) (CD — высота):

\(\angle A = 30^{\circ}\), \(\angle ADC = 90^{\circ}\).

\(\cos A = \frac{AC}{AD}\) \(\Rightarrow\) \(\cos 30^{\circ} = \frac{10}{AD}\) \(\Rightarrow\) \(AD = \frac{10}{\cos 30^{\circ}} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\) см.

В прямоугольном \(\triangle ADE\) (DE — перпендикуляр):

\(\angle A = 30^{\circ}\), \(\angle AED = 90^{\circ}\).

\(\cos A = \frac{AE}{AD}\) \(\Rightarrow\) \(\cos 30^{\circ} = \frac{AE}{20\sqrt{3}/3}\) \(\Rightarrow\) \(AE = \frac{20\sqrt{3}}{3} \cdot \cos 30^{\circ} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 10\) см.

Примечание: Ошибка в условии задачи. В \(\triangle ADC\) \(\angle ACD = 90 - \angle A = 90 - 30 = 60^{\circ}\). В \(\triangle ADE\) \(\angle ADE = 90 - \angle A = 90 - 30 = 60^{\circ}\). Следовательно, \(AE = AD \cos 30^{\circ}\). Однако, \(CD\) — высота, значит \(\angle CDA = 90^{\circ}\). В \(\triangle ADC\), \(\angle CAD = 30^{\circ}\), \(\angle ACD = 60^{\circ}\). В \(\triangle CDE\) \(\angle CED = 90^{\circ}\), \(\angle DCE = 60^{\circ}\), \(\angle CDE = 30^{\circ}\). В \(\triangle ADE\), \(\angle AED = 90^{\circ}\), \(\angle DAE = 30^{\circ}\), \(\angle ADE = 60^{\circ}\).
В \(\triangle ABC\): \(BC = AC \tan 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\). \(AB = \frac{AC}{\cos 30^{\circ}} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\).
Высота \(CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{10 \cdot 10\sqrt{3}/3}{20\sqrt{3}/3} = 5\) см.
В \(\triangle ADC\): \(AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}\) см.
В \(\triangle ADE\): \(AE = AD \cos 30^{\circ} = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} = 7.5\) см.

Ответ: 4) 7,5 см