А2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠A = 30°, AC = 10 см, CD — высота, проведенная к стороне АВ, DE — перпендикуляр, проведенный из точки D к стороне АС. Чему равна длина АЕ?

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( AC = AB \cdot \cos A \)

\( 10 = AB \cdot \cos 30° \)

\( AB = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) см.

CD — высота, проведенная к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике ADC:

\( AD = AC \cdot \cos A = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

DE — перпендикуляр, проведенный из точки D к стороне AC. В прямоугольном треугольнике ADE:

\( AE = AD \cdot \cos A = 5\sqrt{3} \cdot \cos 30° = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 \) см.

Ответ: 4) 7,5 см