A20 На рисунке а приведен график зависимости изменения заряда конденсатора в колебательном контуре от времени. На каком из графиков — 1, 2, 3, или 4 (рис. б) — изменение силы тока показано правильно? Колебательный контур считать идеальным

Решение:

График на рисунке (а) показывает зависимость заряда конденсатора Q от времени t. Это гармоническое колебание, которое можно описать функцией вида:

\[ Q(t) = Q_{max} ѓіс(ω t + φ) \]

где Q_max — максимальный заряд, \[ ω \] — циклическая частота, \[φ\] — начальная фаза.

Из графика видно, что заряд равен нулю в момент времени t = 0 (или t = 1 мкс, 2 мкс, ...). Это означает, что начальная фаза \[ φ = 0 \] (или \[φ = π\] если брать косинус, но синус удобнее, так как Q(0)=0).

Следовательно, зависимость заряда от времени имеет вид:

\[ Q(t) = Q_{max} ін(ω t) \]

Сила тока в колебательном контуре связана с зарядом соотношением:

\[ I(t) = ¯\frac{dQ}{dt} \]

Продифференцируем выражение для заряда по времени:

\[ I(t) = ¯\frac{d}{dt} (Q_{max} ін(ω t)) = ¯ Q_{max} щ іоѕ(ω t) \]

Это означает, что зависимость силы тока от времени также является гармоническим колебанием, но с косинусоидальной формой и со сдвигом фазы на \[ π/2 \] относительно заряда. Кроме того, перед функцией косинуса стоит знак минус, что указывает на то, что ток будет отрицательным, когда заряд максимален (и наоборот). То есть, когда заряд максимален (Q = Q_max), ток равен нулю. Когда заряд равен нулю (Q = 0), ток максимален по модулю.

Анализ графиков силы тока (рис. б):

• График 1: Начинается с максимального положительного значения тока в t=0. Это соответствует зависимости вида \[І(т) = І_{max} ін(ω t)\].
• График 2: Начинается с максимального отрицательного значения тока в t=0. Это соответствует зависимости вида \[І(т) = ¯ І_{max} ін(ω t)\].
• График 3: Начинается с нуля и растет. Это соответствует зависимости вида \[І(т) = І_{max} іоѕ(ω t)\].
• График 4: Начинается с нуля и убывает. Это соответствует зависимости вида \[І(т) = ¯ І_{max} іоѕ(ω t)\].

Наш вывод \[І(т) = ¯ Q_{max} щ іоѕ(ω t)\] соответствует графику, который начинается с максимального отрицательного значения тока в момент времени t=0 (когда заряд равен нулю и ток начинает нарастать в отрицательном направлении).

Примечание: Если бы график заряда был вида Q(t) = Q_max cos(ωt), то ток был бы I(t) = -I_max sin(ωt), что соответствовало бы графику 4.

Поскольку на рисунке (а) график заряда начинается с нуля, то производная (ток) должна начинаться с максимального значения (положительного или отрицательного).

Учитывая, что Q(t) = Q_max sin(ωt), тогда I(t) = -I_max cos(ωt). В момент t=0, Q=0, а I(0) = -I_max. Значит, ток имеет максимальное отрицательное значение.

Сравнение с вариантами ответа:

• 1) График силы тока начинается с максимума.
• 2) График силы тока начинается с минимума (максимального отрицательного значения).
• 3) График силы тока начинается с нуля и увеличивается.
• 4) График силы тока начинается с нуля и уменьшается.

Ответ: 2