A3. ∠1 = 125°, ∠2 = 55°, ∠3 больше, чем ∠4, на 20°. Чему равен ∠4?

Решение:

1. Смежные углы: \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — смежные углы. \( \angle 1 + \angle 3 = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow 125^{\circ} + \angle 3 = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \angle 3 = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ} \).
2. Смежные углы: \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) — смежные углы. \( \angle 2 + \angle 4 = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow 55^{\circ} + \angle 4 = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \angle 4 = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).
3. Проверка условия: \( \angle 3 = 55^{\circ} \), \( \angle 4 = 125^{\circ} \). \( \angle 3 \) меньше, чем \( \angle 4 \) на \( 125^{\circ} - 55^{\circ} = 70^{\circ} \), а не на \( 20^{\circ} \).
4. Альтернативная интерпретация: Возможно, \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) — это углы, образованные секущей $$c$$ и прямыми $$a$$ и $$b$$.
5. Накрест лежащие углы: \( \angle 1 \) и \( \angle 4 \) — накрест лежащие углы. Если $$a \|\| b$$, то \( \angle 1 = \angle 4 \).
6. Соответственные углы: \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — соответственные углы. Если $$a \|\| b$$, то \( \angle 1 = \angle 3 \).
7. Односторонние углы: \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — односторонние углы. Если $$a \|\| b$$, то \( \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} \).
8. По условию: \( \angle 1 = 125^{\circ} \) и \( \angle 2 = 55^{\circ} \). Их сумма равна \( 125^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ} \). Это означает, что прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны.
9. Условие: \( \angle 3 \) больше, чем \( \angle 4 \) на \( 20^{\circ} \). \( \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ} \) (смежные).
10. Решаем систему: \( \angle 3 = \angle 4 + 20^{\circ} \) \( \Rightarrow (\angle 4 + 20^{\circ}) + \angle 4 = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow 2\angle 4 = 160^{\circ} \) \( \Rightarrow \angle 4 = 80^{\circ} \).
11. Тогда: \( \angle 3 = 80^{\circ} + 20^{\circ} = 100^{\circ} \).
12. Проверка: \( 100^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: 3) 80°