А3. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=5a$ и $BC=9a$ точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Найдите векторную сумму $\left|\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}\right|$. 1) $14a$; 2) $7a$; 3) $4a$; 4) $8a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: А3. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=5a$ и $BC=9a$ точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$…$ Фото задания

А3. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD=5a$ и $BC=9a$ точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Найдите векторную сумму $\left|\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}\right|$. 1) $14a$; 2) $7a$; 3) $4a$; 4) $8a$.

Accepted Answer

Так как $M$ — середина $AB$, то $\overrightarrow{BM}=\frac12\overrightarrow{BA}$. Так как $N$ — середина $CD$, то $\overrightarrow{NC}=\frac12\overrightarrow{DC}$.

В трапеции основания параллельны. Обозначим их общий направленный вектор вдоль основания через $\vec u$, направленный от левого конца к правому. Тогда $\overrightarrow{AD}=5\vec u$, а $\overrightarrow{BC}=9\vec u$. Из замкнутости контура $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$.

Поэтому $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC})+\overrightarrow{AD}=\frac12(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AD}=\frac12(9\vec u-5\vec u)+5\vec u=7\vec u$.

Поскольку $|\vec u|=a$, длина суммы равна $7a$.

Ответ: 2) $7a$.