А3. В треугольнике АВС АВ = ВС. На медиане ВЕ отмечена точка М, а на сторонах АВ и ВС точки Р и К соответственно (точки Р, М и К не лежат на одной прямой). Известно, что ∠BMP = ∠BMK. Величина ∠BPM = 86°. Чему равна величина угла ВКМ?

Решение:

• В треугольнике АВС АВ = ВС, значит, он равнобедренный. ВЕ — медиана, проведенная к основанию АС. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и биссектрисой. Следовательно, ∠ABE = ∠CBE и BE ⊥ AC.
• Точка М лежит на медиане ВЕ.
• Известно, что ∠BMP = ∠BMK. Это означает, что луч МВ является биссектрисой угла ∠PKM.
• Точка Р лежит на стороне АВ, точка К — на стороне ВС.
• В треугольнике ВРМ ∠BPM = 86°.
• Рассмотрим треугольник ВКМ.
• Так как ∠BMP = ∠BMK, и МВ является биссектрисой угла ∠PKM, то в треугольнике PKM, МВ является биссектрисой.
• Также, так как АВ = ВС, то треугольник АВС симметричен относительно медианы ВЕ.
• Если ∠BMP = ∠BMK, и М лежит на ВЕ, то точки Р и К симметричны относительно ВЕ.
• Следовательно, треугольники ВРМ и ВКМ будут равны.
• В треугольнике ВРМ: ∠PBM + ∠BMP + ∠BPM = 180°.
• В треугольнике ВКМ: ∠KBM + ∠BMK + ∠BKM = 180°.
• Так как ∠BMP = ∠BMK, и ∠PBM = ∠KBM (так как ВЕ — биссектриса ∠ABC), то ∠BPM = ∠BKM.
• По условию ∠BPM = 86°, следовательно, ∠BKM = 86°.

Ответ: 86°