А5. Прямая МК разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек Ми К в разные полуплоскости проведены равные отрезки МА и КВ, причем ∠AMK = ∠BKM. Какое из высказываний верное?

Решение:

• Дано: Прямая МК. Точки А и В находятся в разных полуплоскостях относительно МК.
• МА = КВ (равные отрезки).
• ∠AMK = ∠BKM.
• Рассмотрим треугольник АМК и треугольник ВКМ.
• У нас есть пара равных сторон (МА = КВ) и пара равных углов (∠AMK = ∠BKM), прилежащих к стороне МК.
• Чтобы доказать равенство треугольников, нам нужен еще один элемент.
• Если бы мы могли доказать, что треугольник АМК равен треугольнику ВКМ, то это означало бы, что:
• AM = BK
• MK = MK (общая сторона)
• ∠AMK = ∠BKM
• Если бы эти условия выполнялись, то треугольники были бы равны по первому признаку равенства (две стороны и угол между ними).
• Если треугольники АМК и ВКМ равны, то:
• AM = BK
• MK = MK
• ∠AMK = ∠BKM
• ∠MAK = ∠KBK
• ∠MKA = ∠MKB
• Рассмотрим вариант 1: ΔAMB = ΔKMB.
• Для этого нам нужно: AM = KM, MB = MB, ∠AMB = ∠KMB. Это не следует из условий.
• Рассмотрим вариант 2: ΔAMB = ΔAKM.
• Для этого нам нужно: AM = AK, MB = KM, ∠AMB = ∠AKM. Это не следует из условий.
• Рассмотрим вариант 3: ΔMKA = ΔKMA.
• Это тривиально, так как это один и тот же треугольник.
• Рассмотрим вариант 4: ΔAKM = ΔBMK.
• Для равенства этих треугольников нам нужно:
• AK = BM (не дано)
• KM = MK (общая сторона)
• ∠AKM = ∠BMK (не дано)
• ИЛИ
• AK = BM
• AM = BK
• ∠KAM = ∠MBK
• ИЛИ
• AM = BK
• KM = MK
• ∠AMK = ∠BKM (дано)
• Чтобы доказать равенство треугольников АМК и ВКМ, нам нужен еще один равный элемент.
• Если предположить, что ∠AMK и ∠BKM — это углы между стороной МК и отрезками МА и КВ соответственно.
• Рассмотрим преобразование симметрии.
• Если отразить точку А относительно прямой МК, получим точку А'.
• Если отразить точку В относительно прямой МК, получим точку В'.
• Если MA = KB и ∠AMK = ∠BKM, и А и В находятся в разных полуплоскостях.
• Представим, что МК — это ось симметрии.
• Если бы треугольники АМК и ВКМ были равны, то AK = BM.
• Рассмотрим треугольники АМК и ВКМ.
• У нас есть:
• 1. MA = KB
• 2. ∠AMK = ∠BKM
• 3. MK — общая сторона.
• Если мы имеем сторону, угол, сторону (SAS), то треугольники равны.
• У нас есть сторона (MA), угол (∠AMK), сторона (MK).
• У нас есть сторона (KB), угол (∠BKM), сторона (MK).
• Если ∠AMK = ∠BKM, MA = KB, MK = MK, то треугольники АМК и ВКМ равны по SAS.
• Следовательно, AK = BM и ∠MAK = ∠KBK и ∠MKA = ∠MKB.
• Теперь проверим предложенные варианты:
• 1) ΔAMB = ΔKMB
• 2) ΔAMB = ΔAKM
• 3) ΔMKA = ΔKMA (бессмысленно)
• 4) ΔAKM = ΔBMK
• Из равенства треугольников АМК и ВКМ мы получили, что AK = BM.
• Рассмотрим треугольник АМВ и треугольник ВКМ.
• У нас есть AM = BK.
• У нас есть ∠AMK = ∠BKM.
• Если AK = BM, то мы можем рассмотреть треугольники AKM и BMK.
• Имеем: AK = BM, KM = MK, ∠AKM = ∠BMK (из равенства ΔAMK и ΔBMK).
• Это не то, что нам дано.
• Вернемся к условию: ∠AMK = ∠BKM.
• И MA = KB.
• И MK — общая сторона.
• Рассмотрим треугольники AMK и BKM.
• Если AM = BK, MK = MK, ∠AMK = ∠BKM, то эти треугольники равны по SAS.
• Тогда AK = BM.
• И ∠MAK = ∠KBK.
• И ∠MKA = ∠MKB.
• Теперь смотрим на варианты:
• 1) ΔAMB = ΔKMB: AM=KM, MB=MB, ∠AMB=∠KMB. Нет.
• 2) ΔAMB = ΔAKM: AM=AK, MB=KM, ∠AMB=∠AKM. Нет.
• 3) ΔMKA = ΔKMA: Одно и то же.
• 4) ΔAKM = ΔBMK: AK=BM, KM=MK, ∠AKM=∠BMK.
• Из равенства ΔAMK = ΔBMK (SAS), мы получили AK = BM и ∠MKA = ∠MKB.
• То есть, AK = BM (верно).
• ∠MKA = ∠MKB (верно).
• Следовательно, треугольник AKM равен треугольнику BMK.

Ответ: ΔAKM = ΔBMK