А4. На сторонах AB, BC, CD и AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки P, M, E и K так, что AP = PM = CE = DK = 3 см, ∠APK = 60°. Чему равен периметр четырёхугольника PMEK?

Обозначим сторону квадрата через \(a\). Возьмём координаты \(A=(0,0)\), \(B=(a,0)\), \(C=(a,a)\), \(D=(0,a)\). Тогда \(P=(3,0)\), а из условия \(PM=3\) следует, что \(M=(a,3)\). Также \(DK=3\), значит, \(K=(0,a-3)\).

Векторы \(\overrightarrow{PA}=(-3,0)\) и \(\overrightarrow{PK}=(-3,a-3)\). По условию угол между ними равен 60°, поэтому

\(\cos 60°=\frac{3}{\sqrt{9+(a-3)^2}}\).

Отсюда \(\sqrt{9+(a-3)^2}=6\), следовательно, \((a-3)^2=27\) и \(a-3=3\sqrt{3}\) (так как \(a>3\)).

Длина стороны PMEK, например \(PM\), равна \(\sqrt{(a-3)^2+3^2}=6\) см. Аналогично, все четыре стороны четырёхугольника равны 6 см, поэтому его периметр равен \(4\cdot6=24\) см.

Ответ: 24 см (вариант 3).