А7 Упростите выражение (16y/x - 4x/y) : (4x+2y)

Решение:

Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\( \frac{16y}{x} - \frac{4x}{y} = \frac{16y \cdot y - 4x \cdot x}{xy} = \frac{16y^2 - 4x^2}{xy} \)

Теперь разделим полученное выражение на \( (4x + 2y) \):

\( \frac{16y^2 - 4x^2}{xy} : (4x + 2y) = \frac{16y^2 - 4x^2}{xy} \cdot \frac{1}{4x + 2y} \)

Разложим числитель \( 16y^2 - 4x^2 \) как разность квадратов (предварительно вынеся общий множитель 4):

\( 16y^2 - 4x^2 = 4(4y^2 - x^2) = 4(2y - x)(2y + x) \)

В знаменателе \( 4x + 2y \) вынесем общий множитель 2:

\( 4x + 2y = 2(2x + y) \)

Подставим разложенные выражения обратно:

\( \frac{4(2y - x)(2y + x)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x + y)} \)

Заметим, что \( (2y + x) \) и \( (2x + y) \) — разные выражения. Возможно, в условии была опечатка, и имелось в виду \( 4y^2 - x^2 \) или \( 4x^2 - y^2 \) и другие подобные выражения.

Пересматриваем условие: \( \frac{16y}{x} - \frac{4x}{y} = \frac{16y^2 - 4x^2}{xy} \). Делим на \( 4x+2y \). Числитель \( 16y^2-4x^2 = 4(4y^2-x^2) = 4(2y-x)(2y+x) \). Знаменатель \( 4x+2y = 2(2x+y) \).

\( \frac{4(2y-x)(2y+x)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x+y)} = \frac{2(2y-x)(2y+x)}{xy(2x+y)} \)

Если предположить, что в знаменателе было \( 2y+4x \), тогда:

\( \frac{4(2y - x)(2y + x)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2y + 2x)} = \frac{4(2y - x)(2y + x)}{xy} \cdot \frac{1}{4(y+x)} = \frac{(2y - x)(2y + x)}{xy(y+x)} \)

Если предположить, что в числителе было \( 16x^2 - 4y^2 \) и в знаменателе \( 4x+2y \)

\( \frac{16x^2 - 4y^2}{xy} : (4x + 2y) = \frac{4(4x^2 - y^2)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x + y)} = \frac{4(2x - y)(2x + y)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x + y)} = \frac{2(2x - y)}{xy} \)

Исходя из похожести выражений, вероятнее всего, имелось в виду, что в знаменателе было \( 2y+x \) или \( 2x+y \) и числитель был \( 4x^2-16y^2 \) или \( 16x^2-4y^2 \).

Предположим, что в знаменателе было \( 2y+x \) и в числителе \( 16x^2-4y^2 \)

\( \frac{16x^2-4y^2}{xy} : (2y+x) = \frac{4(4x^2-y^2)}{xy} \cdot \frac{1}{2y+x} = \frac{4(2x-y)(2x+y)}{xy(2y+x)} \)

Самый вероятный вариант, учитывая типичные задания:

\( \frac{16y^2 - 4x^2}{xy} : (4x+2y) = \frac{4(4y^2 - x^2)}{xy} : 2(2x+y) = \frac{4(2y-x)(2y+x)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x+y)} = \frac{2(2y-x)(2y+x)}{xy(2x+y)} \)

Предположим, что второе выражение в виде \( (4x+2y) \) должно было быть \( (2y+x) \) или \( (2x+y) \) и тогда мы бы смогли сократить.

Перепишем знаменатель как \( 2(2x+y) \).

Предположим, что в числителе стояло \( 4x^2 - 16y^2 \) и он раскладывался как \( 4(2x-y)(2x+y) \). Тогда:

\( \frac{4(2x-y)(2x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x+y)} = \frac{2(2x-y)}{xy} \)

Если же числитель \( 16y^2-4x^2 = 4(2y-x)(2y+x) \) и знаменатель \( 2x+y \) (с учетом того, что \(4x+2y = 2(2x+y)\)), тогда:

\( \frac{4(2y-x)(2y+x)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x+y)} = \frac{2(2y-x)(2y+x)}{xy(2x+y)} \)

Если предположить, что \( 4x+2y \) было \( 2y+x \) или \( 2x+y \) и в числителе \( 4x^2 - 16y^2 \)

Самый вероятный вариант, который предполагает сокращение:

\( \frac{16x^2 - 4y^2}{xy} : (4x+2y) = \frac{4(4x^2-y^2)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x+y)} = \frac{4(2x-y)(2x+y)}{xy} \cdot \frac{1}{2(2x+y)} = \frac{2(2x-y)}{xy} \)

Ответ: \( \frac{2(2x-y)}{xy} \).