А7 Упростите выражение 4ab/(ab^2 - 2b) и найдите его значение при a = √5 - 1, b = √5 + 1. В ответ запишите полученное число.

Решение:

Сначала упростим выражение:

1. Вынесем общий множитель \( b \) из знаменателя: \( \frac{4ab}{b(a - 2)} \)
2. Сократим \( b \) (при условии \( b \neq 0 \)): \( \frac{4a}{a - 2} \)

Теперь подставим значения \( a = \sqrt{5} - 1 \) и \( b = \sqrt{5} + 1 \). Обратите внимание, что \( b \neq 0 \) и \( a \neq 2 \) (так как \( \sqrt{5} \approx 2.236 \)).

1. Подставим \( a = \sqrt{5} - 1 \) в упрощённое выражение: \( \frac{4(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} - 1) - 2} \)
2. Упростим знаменатель: \( \frac{4(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5} - 3} \)
3. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{5} + 3 \):
4. \( \frac{4(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)} \)
5. Числитель: \( 4((\sqrt{5})^2 + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} - 3) = 4(5 + 2\sqrt{5} - 3) = 4(2 + 2\sqrt{5}) = 8 + 8\sqrt{5} \)
6. Знаменатель (разность квадратов): \( (\sqrt{5})^2 - 3^2 = 5 - 9 = -4 \)
7. Разделим числитель на знаменатель: \( \frac{8 + 8\sqrt{5}}{-4} = -2 - 2\sqrt{5} \)

Ответ: \( -2 - 2\sqrt{5} \).